行制监督主体在处理与公众的关系时，需要遵循以下几个原则和方法：
透明公开：行制监督主体应当保持透明度，向公众公开其监督工作的内容、方式和结果。可以通过建立官方网站、举办公开听证会等方式与公众进行沟通和交流。
及时回应：对于公众提出的监督意见、投诉或举报，行制监督主体应当及时回应，对有关问题进行调查核实，并向公众反馈处理结果。
公正公平：行制监督主体在处理与公众的关系时，要坚持公正公平原则，不偏袒任何一方，客观公正地处理各类监督事务。
提高公众参与度：行制监督主体可以通过举办公众参与活动、征求意见等方式，提高公众参与监督工作的积极性，增强监督效果。
加强沟通：行制监督主体应当与公众保持良好的沟通与互动，倾听公众意见，及时了解社会需求和动向，不断改进监督工作。
为了更好地处理与公众的关系，可以采取以下措施：
总之，行制监督主体在处理与公众的关系时，应当注重透明公开、及时回应、公正公平、提高公众参与度和加强沟通，以建立良好的监督机制，有效履行监督职责。